MECÂNICA DOS FLUIDOS
Curso de Graduação em Física - UERJ
Prof. Marcelo Santos Guimarães
Baseado nas notas de aula de David Tong (Cambridge University)
1º semestre 2026 - Segundas e Quartas - 1h40 por aula
Visão Geral do Curso
O curso cobre os fundamentos e principais aplicações da mecânica dos fluidos em 25 aulas de 1h40 cada, distribuídas de 09/03 a 10/06/2026. O material segue o estilo das notas de David Tong, com ênfase em simetrias, leis de conservação e estrutura física subjacente.
| Módulo | Tema | Aulas | Datas | Qtd. |
|---|---|---|---|---|
| I | Fundamentos | Aulas 1-4 | 09/03-18/03 | 4 |
| II | Fluidos Ideais | Aulas 5-10 | 23/03-13/04 | 6 |
| III | Fluidos Viscosos | Aulas 11-15 | 15/04-29/04 | 5 |
| IV | Ondas e Instabilidades | Aulas 16-20 | 06/05-20/05 | 5 |
| V | Fluidos em Rotação e Geofísica | Aulas 21-23 | 27/05-03/06 | 3 |
| VI | Turbulência | Aulas 24-25 | 08/06-10/06 | 2 |
| Total | 25 aulas | 09/03-10/06 | 25 |
Após a última aula (10/06), o calendário prevê duas sessões de revisão geral (17/06 e 22/06), cinco avaliações distribuídas ao longo do semestre, e quatro datas de reserva em julho para reposição ou atividades extras.
Sistema de Avaliação
A avaliação é feita inteiramente por meio de 5 listas de exercícios, sem provas tradicionais. Em cada data de avaliação, os alunos resolvem no quadro exercícios selecionados da lista correspondente. Cada lista terá três níveis de exercícios: (A) aplicação direta, (B) combinação de conceitos, (C) problema desafiador.
| Aval. | Data | Lista | Conteúdo coberto | Observação |
|---|---|---|---|---|
| A1 | 08/04 (Qua) | Lista 1 | Módulos I e II (parcial) - aulas 1-9 | Fundamentos + Fluidos Ideais até escoamento potencial |
| A2 | 04/05 (Seg) | Lista 2 | Módulo II (completo) + Módulo III - aulas 5-15 | Fluidos Ideais (aerodinâmica) + Fluidos Viscosos completo |
| A3 | 25/05 (Seg) | Lista 3 | Módulo IV - aulas 16-20 | Ondas de superfície, tensão superficial, instabilidades |
| A4 | 15/06 (Seg) | Lista 4 | Módulos V e VI - aulas 21-25 | Rotação, geofísica e turbulência |
| A5 | 06/07 (Seg) | Lista 5 | Notas Suplementares: Ondas Sonoras | Ondas Sonoras |
Calendário Completo
| # | Data | Mód. | Tipo | Atividade | Tong (ref.) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 09/03 Seg | I | Aula | Introdução à Mecânica dos Fluidos | Cap. 1, introdução e §1.1 |
| 2 | 11/03 Qua | I | Aula | Cinemática dos Fluidos | Cap. 1, §1.1.1-1.1.4 |
| 3 | 16/03 Seg | I | Aula | Forças e Tensões em Fluidos | Cap. 2, §2.1.1-2.1.3; Cap. 3, §3.1-3.1.1 |
| 4 | 18/03 Qua | I | Aula | Equação de Euler | Cap. 2, §2.1-2.1.2 |
| 5 | 23/03 Seg | II | Aula | Teorema de Bernoulli e Aplicações | Cap. 2, §2.1.4, 2.3.3, 2.4.2 |
| 6 | 25/03 Qua | II | Aula | Vorticidade I: Definição e Teoremas Fundamentais | Cap. 2, §2.2-2.2.2 |
| 7 | 30/03 Seg | II | Aula | Vorticidade II: Dinâmica de Vórtices | Cap. 2, §2.2.1-2.2.2 (+ complementar) |
| 8 | 01/04 Qua | II | Aula | Escoamento Potencial I: Fundamentos (\(\phi\), \(\psi\), superposições) | Cap. 1, §1.1.4; Cap. 2, §2.3-2.4.1 |
| 9 | 06/04 Seg | II | Aula | Escoamento Potencial II: Funções Complexas e Transformações | Cap. 2, §2.4.1-2.4.2 (+ complementar) |
| 10 | 08/04 Qua | — | Avaliação | AVALIAÇÃO 1 - Lista 1 (Módulos I e II, aulas 1-9) | — |
| 11 | 13/04 Seg | II | Aula | Aerodinâmica: Perfis, Teorema de Kutta-Joukowski e Sustentação | Cap. 2, §2.1.4, 2.4.2 (+ complementar) |
| 12 | 15/04 Qua | III | Aula | Equação de Navier-Stokes | Cap. 3, introdução e §3.1-3.3.1 |
| 13 | 20/04 Seg | III | Aula | Soluções Exatas I: Poiseuille e Couette | Cap. 3, §3.2.1-3.2.3 |
| 14 | 22/04 Qua | III | Aula | Soluções Exatas II: Stokes, Lubrificação e Arrasto | Cap. 3, §3.4-3.4.4 (+ complementar) |
| 15 | 27/04 Seg | III | Aula | Camada Limite I: Equações de Prandtl e Solução de Blasius | Cap. 3, §3.5-3.5.2 |
| 16 | 29/04 Qua | III | Aula | Camada Limite II: Separação, Transição e Arrasto | Cap. 3, §3.5.3-3.5.4 |
| 17 | 04/05 Seg | — | Avaliação | AVALIAÇÃO 2 - Lista 2 (Módulo II completo + Módulo III) | — |
| 18 | 06/05 Qua | IV | Aula | Ondas de Superfície I: Perturbações Lineares e Relação de Dispersão | Cap. 4, §4.1-4.1.2 |
| 19 | 11/05 Seg | IV | Aula | Ondas de Superfície II: Velocidade de Grupo, Dispersão e Ondas em Águas Rasas | Cap. 4, §4.1.2 e 4.3.1 |
| 20 | 13/05 Qua | IV | Aula | Tensão Superficial, Capilaridade e Ondas Capilares | Cap. 4, §4.1.3 |
| 21 | 18/05 Seg | IV | Aula | Instabilidades I: Rayleigh-Taylor e Rayleigh-Plateau | Cap. 5, §5.1.4 e 5.2-5.2.1 |
| 22 | 20/05 Qua | IV | Aula | Instabilidades II: Kelvin-Helmholtz e Critério de Richardson | Cap. 5, §5.1-5.1.3 (+ complementar) |
| 23 | 25/05 Seg | — | Avaliação | AVALIAÇÃO 3 - Lista 3 (Módulo IV) | — |
| 24 | 27/05 Qua | V | Aula | Fluidos em Referencial Rotante: Coriolis, Rossby e Balanço Geostrófico | Cap. 4, §4.3-4.3.2 |
| 25 | 01/06 Seg | V | Aula | Teorema de Taylor-Proudman e Colunas de Taylor | Cap. 4, §4.3 (+ complementar) |
| 26 | 03/06 Qua | V | Aula | Ondas de Rossby e Aplicações Geofísicas | Cap. 4, §4.3.1-4.3.4 |
| 27 | 08/06 Seg | VI | Aula | Turbulência I: Fenomenologia, Médias de Reynolds e Tensões Turbulentas | Cap. 6, §6.1-6.1.1 |
| 28 | 10/06 Qua | VI | Aula | Turbulência II: Cascata de Kolmogorov e Lei dos 5/3 | Cap. 6, §6.2-6.3.4 |
| 29 | 15/06 Seg | — | Avaliação | AVALIAÇÃO 4 - Lista 4 (Módulos V e VI) | — |
| 30 | 17/06 Qua | — | Revisão | Revisão Geral I - Fluidos Ideais e Viscosos (aulas 1-15) | — |
| 31 | 22/06 Seg | — | Revisão | Revisão Geral II - Ondas, Rotação e Turbulência (aulas 16-25) | — |
| 32 | 24/06 Qua | — | Reserva | Reserva / Reposição | — |
| 33 | 29/06 Seg | — | Reserva | Reserva / Reposição | — |
| 34 | 01/07 Qua | — | Reserva | Reserva / Reposição | — |
| 35 | 06/07 Seg | — | Avaliação | AVALIAÇÃO 5 - Lista 5 (Ondas sonoras) | — |
| 36 | 08/07 Qua | — | Reserva | Reserva / Reposição | — |
Plano Detalhado por Módulo
Módulo I - Fundamentos
| Aula | Título | Tópicos principais | Tong | Ref. secundária |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Introdução à Mecânica dos Fluidos | O que é um fluido. Hipótese do contínuo. Densidade, pressão, velocidade. Descrições Euleriana e Lagrangiana. | Cap. 1, introdução e §1.1 | L&L §1; Acheson §1.1 |
| 2 | Cinemática dos Fluidos | Derivada material D/Dt. Linhas de corrente, trajetórias, linhas de emissão. Equação da continuidade. Escoamento incompressível. | Cap. 1, §1.1.1-1.1.4 | L&L §1; Kundu §3.1-3.3 |
| 3 | Forças e Tensões em Fluidos | Forças de corpo e de superfície. Tensor de tensões. Pressão hidrostática. Fluidos Newtonianos: tensor de tensões viscosas. | Cap. 2, §2.1.1-2.1.3; Cap. 3, §3.1-3.1.1 | L&L §2; Kundu §2.3-2.4 |
| 4 | Equação de Euler | Dedução a partir de conservação de momento. Fluidos ideais. Condições de contorno. Interpretação como equação de campo para u. | Cap. 2, §2.1-2.1.2 | L&L §2; Acheson §1.2-1.3 |
Módulo II - Fluidos Ideais
| Aula | Título | Tópicos principais | Tong | Ref. secundária |
|---|---|---|---|---|
| 5 | Teorema de Bernoulli e Aplicações | Bernoulli ao longo de linhas de corrente. Forma generalizada. Venturi, effluxo, sustentação simplificada. Paradoxo de d’Alembert. | Cap. 2, §2.1.4, 2.3.3, 2.4.2 | L&L §5; Acheson §1.4 |
| 6 | Vorticidade I: Definição e Teoremas Fundamentais | \(\omega = \nabla \times \mathbf{u}\). Equação de vorticidade. Teorema de Kelvin (circulação). Teorema de Helmholtz (tubos de vórtice). Conservação topológica. | Cap. 2, §2.2-2.2.2 | L&L §8; Acheson §2.1-2.4 |
| 7 | Vorticidade II: Dinâmica de Vórtices | Vórtices pontuais em 2D. Par de vórtices. Vórtice de Rankine. Anéis de vórtice. Estiramento de vorticidade. Helicidade como invariante topológico. | Cap. 2, §2.2.1-2.2.2 (+ complementar) | L&L §9; Acheson §2.5-2.7 |
| 8 | Escoamento Potencial I | Escoamentos irrotacionais: potencial \(\phi\) e função de corrente \(\psi\). Superposição: fonte, sumidouro, dipolo, vórtice. Escoamento ao redor de cilindro. | Cap. 1, §1.1.4; Cap. 2, §2.3-2.4.1 | Acheson §4.1-4.4; Batchelor §2.9 |
| 9 | Escoamento Potencial II: Funções Complexas | Potencial complexo \(w(z)=\phi+i\psi\). Velocidade complexa. Transformação de Joukowski. Mapeamento conforme. Círculo para perfil aerodinâmico. | Cap. 2, §2.4.1-2.4.2 (+ complementar) | Acheson §4.5-4.9; Batchelor §2.10 |
| 10 | Aerodinâmica: Perfis e Sustentação | Condição de Kutta. Teorema de Kutta-Joukowski: \(L=\rho U\Gamma\). Circulação e sustentação. Arrasto de indução. Número de Reynolds na aerodinâmica. | Cap. 2, §2.1.4, 2.4.2 (+ complementar) | Acheson §4.6-4.9; Kundu §14 |
Módulo III - Fluidos Viscosos
| Aula | Título | Tópicos principais | Tong | Ref. secundária |
|---|---|---|---|---|
| 11 | Equação de Navier-Stokes | Viscosidade dinâmica \(\mu\) e cinemática \(\nu=\mu/\rho\). Dedução de N-S. Número de Reynolds \(\mathrm{Re}\). Limites \(\mathrm{Re}\to 0\) (Stokes) e \(\mathrm{Re}\to\infty\) (Euler). Dissipação. | Cap. 3, introdução e §3.1-3.3.1 | L&L §15-17; Kundu §9.1-9.2 |
| 12 | Soluções Exatas I: Poiseuille e Couette | Escoamento de Poiseuille em tubo e canal (perfil parabólico, lei de Hagen-Poiseuille). Escoamento de Couette. Relação pressão-vazão. | Cap. 3, §3.2.1-3.2.3 | L&L §17; Acheson §7.1-7.2 |
| 13 | Soluções Exatas II: Stokes, Lubrificação e Arrasto | Escoamento de Stokes ao redor de esfera: fórmula de Stokes para arrasto. Teoria de lubrificação (Reynolds). Validade em \(\mathrm{Re}\ll 1\). | Cap. 3, §3.4-3.4.4 (+ complementar) | L&L §20; Acheson §7.3-7.4 |
| 14 | Camada Limite I: Equações de Prandtl e Solução de Blasius | Ideia de Prandtl: separação de escalas. Dedução das equações da camada limite. Similaridade. Solução de Blasius: perfil e espessura \(\delta\sim(\nu x/U)^{1/2}\). | Cap. 3, §3.5-3.5.2 | Acheson §8.1-8.3; Kundu §10.2 |
| 15 | Camada Limite II: Separação, Transição e Arrasto | Separação da camada limite: gradiente adverso de pressão. Arrasto de pressão vs. arrasto viscoso. Transição laminar-turbulenta. Critério de \(\mathrm{Re}_{\mathrm{crit}}\). | Cap. 3, §3.5.3-3.5.4 | Acheson §8.4; Kundu §10.3-10.4 |
Módulo IV - Ondas e Instabilidades
| Aula | Título | Tópicos principais | Tong | Ref. secundária |
|---|---|---|---|---|
| 16 | Ondas de Superfície I: Perturbações Lineares | Linearização em torno de repouso. Condições de contorno em superfície livre. Solução por modos normais. Relação de dispersão \(\omega^2=gk\tanh(kh)\). | Cap. 4, §4.1-4.1.2 | L&L §12; Acheson §3.1-3.3 |
| 17 | Ondas de Superfície II: Dispersão e Grupos de Onda | Águas profundas e rasas como limites. Velocidade de fase \(c\) e de grupo \(c_g\). Dispersão: alargamento de pacotes de onda. Energia em ondas de gravidade. | Cap. 4, §4.1.2 e 4.3.1 | L&L §12; Acheson §3.4-3.5 |
| 18 | Tensão Superficial, Capilaridade e Ondas Capilares | Origem molecular da tensão superficial \(\gamma\). Equação de Young-Laplace. Ângulo de contato. Ondas capilares: relação de dispersão com gravidade e tensão superficial. Número de Weber. | Cap. 4, §4.1.3 | Kundu §1.9; Acheson §3.9 |
| 19 | Instabilidades I: Rayleigh-Taylor e Rayleigh-Plateau | Análise de estabilidade linear: perturbação \(\to\) equação de crescimento. Instabilidade de Rayleigh-Taylor: fluido pesado sobre leve. Instabilidade de Rayleigh-Plateau: coluna de líquido. | Cap. 5, §5.1.4 e 5.2-5.2.1 | Acheson §9.1-9.2; Kundu §11.1 |
| 20 | Instabilidades II: Kelvin-Helmholtz e Critério de Richardson | Instabilidade de Kelvin-Helmholtz: camada de cisalhamento. Critério de Richardson (estratificação estabilizadora). Relevância em atmosfera, oceano e astrofísica. | Cap. 5, §5.1-5.1.3 (+ complementar) | Acheson §9.3-9.4; Kundu §11.3 |
Módulo V - Fluidos em Rotação e Geofísica
| Aula | Título | Tópicos principais | Tong | Ref. secundária |
|---|---|---|---|---|
| 21 | Fluidos em Referencial Rotante | Forças fictícias: Coriolis \(-2\Omega\times\mathbf{u}\) e centrífuga. Número de Rossby \(\mathrm{Ro}=U/(\Omega L)\). Equações em referencial rotante. Balanço geostrófico. Aplicações atmosféricas. | Cap. 4, §4.3-4.3.2 | Kundu §13.1-13.4 |
| 22 | Teorema de Taylor-Proudman e Colunas de Taylor | Demonstração do teorema de Taylor-Proudman: \(\partial u/\partial z=0\). Colunas de Taylor: visualização experimental. Extensão para fluidos estratificados. | Cap. 4, §4.3 (+ complementar) | Kundu §13.5-13.6; Acheson §8.9 |
| 23 | Ondas de Rossby e Aplicações Geofísicas | Mecanismo físico das ondas de Rossby: conservação de vorticidade potencial. Relação de dispersão. Correntes oceânicas e atmosféricas. Corrente de jato (introdução). | Cap. 4, §4.3.1-4.3.4 | Kundu §13.7-13.8 |
Módulo VI - Turbulência
| Aula | Título | Tópicos principais | Tong | Ref. secundária |
|---|---|---|---|---|
| 24 | Turbulência I: Fenomenologia e Médias de Reynolds | Natureza caótica e imprevisível da turbulência. Decomposição de Reynolds: \(u=\bar{u}+u’\). Equações RANS. Tensões de Reynolds: o problema do fechamento. Energia cinética turbulenta. | Cap. 6, §6.1-6.1.1 | L&L §33-34; Kundu §12.1-12.3 |
| 25 | Turbulência II: Cascata de Kolmogorov e Lei dos 5/3 | Hipóteses de Kolmogorov (K41). Cascata de energia de grandes para pequenas escalas. Escalas de Kolmogorov (\(\eta\), \(\tau_\eta\), \(v_\eta\)). Lei \(E(k)\sim k^{-5/3}\). Análise dimensional. Limitações de K41. | Cap. 6, §6.2-6.3.4 | L&L §34; Kundu §12.4-12.6 |
Referências Bibliográficas
| Sigla | Tipo | Autor(es) | Título | Editora / Nota |
|---|---|---|---|---|
| [T] | Principal | Tong, D. | Lectures on Fluid Mechanics | Cambridge (notas online): https://damtp.cam.ac.uk/user/tong/fluids.html |
| [LL] | Secundária | Landau, L.D. e Lifshitz, E.M. | Fluid Mechanics (Vol. 6) | Butterworth-Heinemann, 2ª ed., 1987 |
| [A] | Secundária | Acheson, D.J. | Elementary Fluid Dynamics | Oxford University Press, 1990 |
| [K] | Secundária | Kundu, P.K., Cohen, I.M. e Dowling, D.R. | Fluid Mechanics | Academic Press, 6ª ed., 2015 |
| [B] | Ref. clássica | Batchelor, G.K. | An Introduction to Fluid Dynamics | Cambridge University Press, 2000 |