MECÂNICA ESTATÍSTICA
Entropia, Informação e Sistemas Quânticos
Programa de Pós-graduação em Física — UERJ
Prof. Marcelo Santos Guimarães
2º semestre de 2026 — Segundas e quartas, 10:40–12:20 — 1h40 por aula
Visão Geral do Curso
Este é um curso de pós-graduação em mecânica estatística de equilíbrio. Ele desenvolve a maquinaria padrão — ensembles, gases clássicos e quânticos, transições de fase, modelo de Ising e grupo de renormalização — e então usa a teoria da informação e a informação quântica para esclarecer o que essa maquinaria significa.
O material está organizado em 29 aulas distribuídas em sete módulos, intercaladas com três provas escritas presenciais, de 10 de agosto a 9 de dezembro de 2026.
As aulas incluem questões conceituais curtas que toda a turma responde e em seguida discute em duplas. Elas não são avaliadas, mas é nelas que se pratica o vocabulário usado ao longo do curso: decidir se uma dada afirmação é exata, um enunciado no limite termodinâmico, uma aproximação controlada ou uma heurística.
Objetivos de Aprendizagem
Ao final do curso, o estudante deve ser capaz de:
- deduzir os ensembles microcanônico, canônico e grão-canônico e transitar entre seus potenciais termodinâmicos;
- calcular flutuações e funções resposta, e dizer quando os ensembles se tornam equivalentes;
- distinguir as entropias termodinâmica, de Boltzmann, de Gibbs, de Shannon, de von Neumann, de emaranhamento e de Rényi;
- usar entropia relativa clássica e quântica, informação mútua e inferência por máxima entropia em problemas de mecânica estatística;
- explicar por que a reversibilidade microscópica não produz, por si só, o crescimento macroscópico da entropia;
- resolver problemas padrão de gases clássicos e quânticos, incluindo o gás de Fermi degenerado e a condensação de Bose–Einstein;
- analisar transições de fase simples via teoria de Landau e o modelo de Ising;
- explicar granulação grossa, pontos fixos, relevância e universalidade no grupo de renormalização;
- afirmar com clareza se um resultado é exato, um enunciado no limite termodinâmico, uma aproximação controlada, um exemplo específico de modelo ou um argumento heurístico.
Referências Principais
- [Kardar-P] M. Kardar, Statistical Physics of Particles, Cambridge University Press, 2007.
- [PB] R. K. Pathria e P. D. Beale, Statistical Mechanics, 3ª ed., Elsevier, 2011.
- [Reichl] L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, 4ª ed., Wiley, 2016.
- [Kardar-F] M. Kardar, Statistical Physics of Fields, Cambridge University Press, 2007 — para transições de fase e renormalização.
Referências adicionais:
- [CT] T. M. Cover e J. A. Thomas, Elements of Information Theory, 2ª ed., Wiley, 2006.
- [NC] M. A. Nielsen e I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000.
- [Wilde] M. M. Wilde, Quantum Information Theory, 2ª ed., Cambridge University Press, 2017.
- [Witten] E. Witten, “A Mini-Introduction to Information Theory,” Rivista del Nuovo Cimento 43 (2020), arXiv:1805.11965.
- [Tong] D. Tong, Lectures on Statistical Physics — um percurso padrão e conciso por ensembles, gases e transições de fase.
- [Touchette] H. Touchette, “The large deviation approach to statistical mechanics,” Physics Reports 478 (2009) — grandes desvios e equivalência de ensembles.
- [Seifert] U. Seifert, “Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines,” Rep. Prog. Phys. 75 (2012) — produção de entropia e trabalho fora do equilíbrio.
Sistema de Avaliação
As notas vêm apenas de provas escritas individuais e presenciais. São três provas, com pesos 30% / 30% / 40%.
| Prova | Data | Peso | Conteúdo |
|---|---|---|---|
| Prova 1 | 16/09 (Qua) | 30% | Módulos I–II: termodinâmica, entropia, probabilidade, ensembles, máxima entropia |
| Prova 2 | 04/11 (Qua) | 30% | Módulos III–IV: sistemas clássicos, irreversibilidade, termodinâmica da informação, entropia quântica, princípio de Landauer |
| Prova 3 | 09/12 (Qua) | 40% | Módulos V–VII: gases quânticos, transições de fase, Ising, renormalização + uma questão cumulativa de síntese sobre entropia |
Estrutura de cada prova
Toda prova tem as mesmas duas partes.
Parte A — Exercício de parecer (40 pontos). Você recebe um rascunho de dedução, escrito de forma competente e em sua maior parte correto, contendo um pequeno número de defeitos substantivos: afirmações erradas, ou que reivindicam um estatuto mais forte do que de fato possuem. Para cada defeito, é preciso
- localizá-lo — cite a frase ou a equação;
- diagnosticá-lo — diga o que está errado e nomeie a hipótese, o limite ou a aproximação que foi mal utilizada ou ocultada;
- repará-lo — forneça o enunciado corrigido junto com seu estatuto: exato, limite termodinâmico, aproximação controlada, campo médio, resultado exato específico do modelo, ou heurístico.
Nem tudo que parece incomum está errado: marcar como defeito uma afirmação correta custa pontos, portanto justifique o que for marcado.
Parte B — Cálculos (60 pontos). Dois problemas do mesmo tipo dos exercícios das notas de aula.
Condições. Uma reunião de 1h40 por prova; trabalho individual e presencial; uma folha de fórmulas A4 manuscrita frente e verso; sem livros, internet ou dispositivos eletrônicos.
Prática
As notas de aula contêm exercícios para autoestudo. Eles não são entregues nem avaliados: o objetivo das provas não é reproduzir uma solução, mas diagnosticar um argumento e dizer com precisão o que ele estabelece e o que não estabelece. Problemas selecionados podem ser discutidos em horários de atendimento opcionais.
Resumo dos Módulos
| Módulo | Tema | Aulas | Datas |
|---|---|---|---|
| I | Termodinâmica e o significado da entropia | 4 | 10–19 ago |
| II | Probabilidade, ensembles e inferência | 6 | 24 ago–14 set |
| III | Sistemas clássicos e irreversibilidade | 6 | 21 set–7 out |
| IV | Termodinâmica da informação e entropia quântica | 4 | 14–26 out |
| V | Gases quânticos ideais | 4 | 9–18 nov |
| VI | Transições de fase e o modelo de Ising | 3 | 23–30 nov |
| VII | Renormalização e síntese final | 2 | 2–7 dez |
| Total | 29 aulas | 10 ago–7 dez (+ 3 provas) |
Mapa de leitura
As notas de aula estão organizadas em doze capítulos. Módulos e capítulos não se correspondem um a um — o Módulo IV, em particular, utiliza três capítulos diferentes.
| Módulo | Aulas | Capítulos das notas |
|---|---|---|
| I | 1–4 | 1. Termodinâmica e a entropia macroscópica |
| II | 5–10 | 2. Probabilidade, informação e tipicidade (probabilidade; máxima entropia; grandes desvios) · 3. Ensembles de equilíbrio |
| III | 11–16 | 4. Gases clássicos e partículas interagentes · 5. Dinâmica microscópica e irreversibilidade |
| IV | 17–20 | 2. (entropia de Shannon, entropia relativa, informação mútua) · 6. A informação é física · 7. Estados quânticos, entropia e equilíbrio |
| V | 21–24 | 8. Partículas idênticas e gases quânticos ideais |
| VI | 25–27 | 9. Transições de fase, parâmetros de ordem e escala · 10. O modelo de Ising |
| VII | 28–29 | 11. Renormalização e universalidade · 12. Uma palavra, várias entropias |
Cada capítulo começa com um quadro indicando as aulas que ele cobre, e marcadores no texto mostram onde uma aula termina e a seguinte começa.
Calendário Detalhado
O período letivo vai de 10 de agosto a 12 de dezembro, às segundas e quartas. Três encontros caem em feriados oficiais (7 de setembro, 12 de outubro, 2 de novembro); 28 de outubro (Dia do Servidor Público) fica como data de reserva até o Instituto confirmar se haverá aula.
| # | Data | Mód. | Tipo | Tópico e escopo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10/08 Seg | I | Aula | Por que mecânica estatística? Regularidade macroscópica, equilíbrio, microestados e macroestados; o mapa de entropia do semestre |
| 2 | 12/08 Qua | I | Aula | Leis da termodinâmica. Calor, trabalho, processos reversíveis e irreversíveis; teorema de Carnot e temperatura absoluta |
| 3 | 17/08 Seg | I | Aula | Entropia termodinâmica. Definição de Clausius, desigualdades da segunda lei, produção de entropia, terceira lei e entropia residual |
| 4 | 19/08 Qua | I | Aula | Estrutura termodinâmica. Relação fundamental, extensividade, concavidade, relações de Euler e Gibbs–Duhem, transformadas de Legendre e estabilidade |
| 5 | 24/08 Seg | II | Aula | Probabilidade para sistemas de muitos corpos. Variáveis aleatórias, combinatória, lei dos grandes números, teorema central do limite, concentração e tipicidade |
| 6 | 26/08 Qua | II | Aula | Ensemble microcanônico. Volume do espaço de fase, densidade de estados, entropia de Boltzmann, temperatura, pressão, gás ideal e o paradoxo de Gibbs |
| 7 | 31/08 Seg | II | Aula | Ensemble canônico. Dedução a partir de um reservatório, distribuição de Gibbs, função de partição e entropia de Gibbs |
| 8 | 02/09 Qua | II | Aula | Energia livre, flutuações e resposta. Flutuações de energia, capacidade térmica, susceptibilidades, convexidade e estabilidade |
| — | 07/09 Seg | — | Feriado | Sem aula: Independência do Brasil |
| 9 | 09/09 Qua | II | Aula | Ensemble grão-canônico. Potencial químico, flutuações do número de partículas, grande potencial e equivalência de ensembles |
| 10 | 14/09 Seg | II | Aula | Máxima entropia e grandes desvios. Inferência com vínculos, famílias exponenciais, transformadas de Legendre–Fenchel e o limite termodinâmico |
| — | 16/09 Qua | I–II | Prova | Prova 1 |
| 11 | 21/09 Seg | III | Aula | Gás ideal clássico. Distribuição de Maxwell, equipartição, entropia de Sackur–Tetrode e o limite clássico diluído |
| 12 | 23/09 Qua | III | Aula | Graus de liberdade moleculares. Sólidos harmônicos, rotações e vibrações de gases diatômicos; limites clássicos e correções quânticas |
| 13 | 28/09 Seg | III | Aula | Gases interagentes. Expansão de Mayer, segundo coeficiente do virial, equação de van der Waals e o alcance da aproximação de gás diluído |
| 14 | 30/09 Qua | III | Aula | Mecânica no espaço de fase clássico. Teorema de Liouville, medidas invariantes, ergodicidade, mistura, granulação grossa e o que cada uma não prova |
| 15 | 05/10 Seg | III | Aula | Produção estocástica de entropia. Equações mestras, balanço detalhado, correntes estacionárias, balanço detalhado local e contração da entropia relativa |
| 16 | 07/10 Qua | III | Aula | Teoria cinética e relações de flutuação. Teorema $H$ de Boltzmann, caos molecular, objeção de Loschmidt, igualdade de Jarzynski e suas hipóteses |
| — | 12/10 Seg | — | Feriado | Sem aula: Nossa Senhora Aparecida |
| 17 | 14/10 Qua | IV | Aula | Informação e correlações. Entropia de Shannon, entropia condicional, entropia relativa, informação mútua e processamento de dados |
| 18 | 19/10 Seg | IV | Aula | A informação é física. Demônio de Maxwell, medição, retroalimentação, apagamento e o limite de Landauer |
| 19 | 21/10 Qua | IV | Aula | Entropia quântica e equilíbrio. Operadores densidade, entropia de von Neumann, entropia relativa quântica, estados de Gibbs e a identidade da energia livre |
| 20 | 26/10 Seg | IV | Aula | Sistemas quânticos compostos. Traço parcial, purificação, subaditividade, informação mútua, entropia de emaranhamento e entropias de Rényi |
| — | 28/10 Qua | IV | Reserva | Dia do Servidor Público. Sem conteúdo novo obrigatório; havendo aula, usada para problemas, recuperação de ritmo e revisão para a Prova 2 |
| — | 02/11 Seg | — | Feriado | Sem aula: Finados |
| — | 04/11 Qua | III–IV | Prova | Prova 2 |
| 21 | 09/11 Seg | V | Aula | Partículas idênticas e números de ocupação. Espaço de Fock, estatísticas de Bose e Fermi, funções de partição grão-canônicas e o limite clássico |
| 22 | 11/11 Qua | V | Aula | Gás de Fermi ideal. Energia de Fermi, equação de estado a temperatura zero, expansão de Sommerfeld e capacidade térmica a baixas temperaturas |
| 23 | 16/11 Seg | V | Aula | Gás de Bose ideal. Condensação de Bose–Einstein, dependência com a dimensão, temperatura crítica e fração condensada |
| 24 | 18/11 Qua | V | Aula | Gás de fótons e síntese dos gases ideais. Termodinâmica do corpo negro; comparação dos regimes de Maxwell–Boltzmann, Fermi–Dirac e Bose–Einstein |
| 25 | 23/11 Seg | VI | Aula | Transições de fase. Singularidades termodinâmicas, parâmetros de ordem, quebra espontânea de simetria, energia livre de Landau e limites de campo médio |
| 26 | 25/11 Qua | VI | Aula | Modelo de Ising I. Matriz de transferência unidimensional, ausência de transição a temperatura finita, correlações e comprimento de correlação |
| 27 | 30/11 Seg | VI | Aula | Modelo de Ising II. Teoria de campo médio, a rede quadrada bidimensional (dualidade e o resultado de Onsager), amostragem de Monte Carlo e escala de tamanho finito |
| 28 | 02/12 Qua | VII | Aula | Grupo de renormalização I. Granulação grossa e reescalonamento, a decimação exata do Ising unidimensional, fluxo de acoplamentos, pontos fixos, operadores relevantes e irrelevantes |
| 29 | 07/12 Seg | VII | Aula | Grupo de renormalização II e síntese da entropia. Expoentes críticos a partir dos autovalores do GR, contagem de potências e a expansão em $\epsilon$, universalidade, entropia sob granulação grossa, emaranhamento perto da criticalidade, mapa final dos conceitos de entropia |
| — | 09/12 Qua | V–VII | Prova | Prova 3 |
Encerramento: as aulas terminam oficialmente em 12/12; uma prova de reposição ou final pode ocorrer em 14/12; correção e revisão de notas em 15–16/12; notas finais divulgadas até 17/12.
Resumo do Calendário
| Marco | Data |
|---|---|
| Primeira aula | 10/08 (Seg) |
| Feriados (sem aula) | 07/09, 12/10, 02/11 |
| Prova 1 (Módulos I–II) | 16/09 (Qua) |
| Data de reserva | 28/10 (Qua) |
| Prova 2 (Módulos III–IV) | 04/11 (Qua) |
| Última aula regular | 07/12 (Seg) |
| Prova 3 (Módulos V–VII) | 09/12 (Qua) |
| Prova de reposição / final | 14/12 (Seg) |
| Notas finais | 17/12 (Qui) |