Mecânica Quântica I — Plano do Curso (2026.1)
Programa de Pós-Graduação em Física — UERJ Prof. Marcelo Santos Guimarães
Período: 09/03/2026 – 10/07/2026 Horário: Segundas e quartas-feiras, 1h40min por aula; fechamento da avaliação final na sexta-feira, 10/07 Carga horária total: 60 horas (36 encontros regulares × 1h40min; bloco final de avaliação encerrado até 10/07)
Visão geral do curso
O curso apresenta a mecânica quântica no nível de pós-graduação, equilibrando rigor formal e intuição física, com orientação para informação quântica. A estrutura segue a lógica:
formalismo → aplicações concretas → perspectiva de informação quântica
O material é organizado em seis módulos temáticos, intercalados com cinco avaliações presenciais. Os módulos I–III seguem de perto as notas de aula do professor; os módulos IV–VI complementam o curso com simetrias, métodos de aproximação e espalhamento.
Referências principais
- [Sakurai] Sakurai, J.J. & Napolitano, J. — Modern Quantum Mechanics, 3ª ed., Cambridge University Press, 2021.
- [NC] Nielsen, M.A. & Chuang, I.L. — Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000.
- [Ballentine] Ballentine, L.E. — Quantum Mechanics: A Modern Development, 2ª ed., World Scientific, 2015.
Referências complementares:
- [CT] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B. & Laloë, F. — Quantum Mechanics, vols. 1 e 2, Wiley-VCH, 2020 (3ª ed.).
- [Wilde] Wilde, M.M. — Quantum Information Theory, 2ª ed., Cambridge University Press, 2017.
- [Preskill] Preskill, J. — Lecture Notes on Quantum Computation, disponível em https://www.preskill.caltech.edu/ph219/.
Estrutura de avaliação
A avaliação será feita por meio de 5 listas de exercícios. As listas serão distribuídas ao longo do curso e avaliadas em sessões presenciais nas quais os alunos resolvem problemas selecionados no quadro. No calendário ajustado, cada bloco de avaliação ocupa dois encontros. A última atividade letiva fica em 10/07/2026, e as notas devem estar prontas até 24/07/2026.
| Avaliação | Datas | Conteúdo |
|---|---|---|
| Lista 1 | 06/04 e 08/04/2026 | Módulo I — Princípios e formalismo |
| Lista 2 | 27/04 e 29/04/2026 | Módulo II — Dinâmica quântica |
| Lista 3 | 20/05 e 25/05/2026 | Módulo III — Sistemas abertos e informação quântica |
| Lista 4 | 10/06 e 15/06/2026 | Módulo IV — Simetrias e momento angular |
| Lista 5 | 08/07 e 10/07/2026 | Módulos V e VI — Aproximação e espalhamento |
Calendário detalhado
Módulo I — Princípios e Formalismo (8 aulas)
Referências principais: Notas de aula §1–1.5; [Sakurai] caps. 1–2; [Ballentine] caps. 1–3; [NC] §2.1–2.2.
| # | Data | Dia | Tópico |
|---|---|---|---|
| 1 | 09/03 | Seg | Introdução ao curso. Axiomas 1 e 2. Espaço de Hilbert; produto interno; notação de Dirac (kets, bras). Observáveis como operadores autoadjuntos; representação espectral; projeções ortogonais. |
| 2 | 11/03 | Qua | Axiomas 3, 4 e 5. Medida: probabilidades, regra de Born, colapso. Dinâmica: equação de Schrödinger, operador de evolução unitário. Sistemas compostos: produto tensorial, primeira noção de entrelaçamento. |
| 3 | 16/03 | Seg | Álgebra de operadores e representações. C*-álgebras; espectro e norma; álgebra de von Neumann. Estados como formas lineares positivas normalizadas. Construção GNS (visão geral e significado físico). |
| 4 | 18/03 | Qua | Espaços de Hilbert de dimensão finita. Representações matriciais; mudanças de base; isometrias. Degenerescência; conjunto completo de observáveis que comutam (CSCO). |
| 5 | 23/03 | Seg | Relações de incerteza. Espaços de dimensão infinita. Desigualdade de Robertson. Operadores de posição e momento; relação de comutação canônica; delta de Dirac; espaço de Hilbert equipado (rigged Hilbert space). |
| 6 | 25/03 | Qua | Oscilador harmônico. Método algébrico: operadores de criação e destruição; espectro; funções de onda como polinômios de Hermite. Variáveis número-ângulo. |
| 7 | 30/03 | Seg | Estados coerentes. Autoestados do operador de destruição; distribuição de Poisson; propriedades de completeza (sobre-completeza). Operador de deslocamento D(z). |
| 8 | 01/04 | Qua | Estados comprimidos. Operador de compressão S(r); transformações de Bogoliubov; incerteza mínima no espaço de fases. Representação gráfica no espaço de fases. |
Nota: A aula 8 fecha o Módulo I. A Lista 1 deve ser distribuída por volta da aula 5, para que os alunos tenham tempo de prepará-la.
| # | Data | Dia | Atividade |
|---|---|---|---|
| A1.1 | 06/04 | Seg | Avaliação 1 — Lista 1 (Módulo I), dia 1 |
| A1.2 | 08/04 | Qua | Avaliação 1 — Lista 1 (Módulo I), dia 2 |
Módulo II — Dinâmica Quântica (4 aulas)
Referências principais: Notas de aula §1.6–1.7; [Sakurai] caps. 2 e 15; [Ballentine] cap. 4; [CT] vol. 1, complemento H_III.
| # | Data | Dia | Tópico |
|---|---|---|---|
| 9 | 13/04 | Seg | Evolução temporal. Operador de evolução; equação de Schrödinger para estados e operadores. Oscilações de neutrinos como exemplo paradigmático de sistemas de dois níveis. |
| 10 | 15/04 | Qua | Representações de Schrödinger e Heisenberg. Equação de Heisenberg; relação de incerteza tempo-energia. Dinâmica do oscilador harmônico nas duas representações. |
| 11 | 20/04 | Seg | Movimento dos estados coerentes. Evolução sob Hamiltoniano geral dependente do tempo (oscilador forçado). Conexão com a dinâmica clássica. |
| 12 | 22/04 | Qua | Propagador e integral de trajetória. Kernel de Feynman; dedução para partícula livre e oscilador harmônico. Formulação de soma sobre histórias (visão geral). Potenciais, transformações de calibre e efeito Aharonov-Bohm. |
Nota: A Lista 2 deve ser distribuída por volta da aula 10.
| # | Data | Dia | Atividade |
|---|---|---|---|
| A2.1 | 27/04 | Seg | Avaliação 2 — Lista 2 (Módulo II), dia 1 |
| A2.2 | 29/04 | Qua | Avaliação 2 — Lista 2 (Módulo II), dia 2 |
Módulo III — Sistemas Quânticos Abertos e Informação Quântica (5 aulas)
Referências principais: Notas de aula §2; [NC] caps. 2, 4 e 8; [Sakurai] cap. 3 (operadores de densidade); [Wilde] caps. 3–4; [Preskill] cap. 2.
| # | Data | Dia | Tópico |
|---|---|---|---|
| 13 | 04/05 | Seg | Sistemas compostos e operador densidade. Produto tensorial revisitado; entrelaçamento. Operador densidade: definição axiomática, estados puros e mistos. Traço parcial e estado reduzido. |
| 14 | 06/05 | Qua | Qubits. Esfera de Bloch; matrizes de Pauli como base para operadores em dimensão 2. Estado completamente despolarizado. Purificação de estados mistos. |
| 15 | 11/05 | Seg | Entrelaçamento e não-localidade. Estados de Bell; base de Bell. Desigualdade de CHSH. Violação quântica e teorema de Bell. Conexão com fundamentos da MQ. |
| 16 | 13/05 | Qua | Entropia de von Neumann. Definição; propriedades: aditividade, subaditividade, invariância sob evolução unitária. Entropia de entrelaçamento como medida de entrelaçamento. Equação de von Neumann (análogo quântico de Liouville). |
| 17 | 18/05 | Seg | Canais quânticos e protocolos de QI. Evolução de sistemas abertos; operadores de Kraus; canal quântico como mapa completamente positivo e que preserva traço (CPTP). Teorema de não-clonagem. Teletransporte quântico e codificação superdensa. |
Nota: A Lista 3 deve ser distribuída por volta da aula 15. A avaliação começa depois das aulas de entropia e canais.
| # | Data | Dia | Atividade |
|---|---|---|---|
| A3.1 | 20/05 | Qua | Avaliação 3 — Lista 3 (Módulo III), dia 1 |
| A3.2 | 25/05 | Seg | Avaliação 3 — Lista 3 (Módulo III), dia 2 |
Módulo IV — Simetrias e Momento Angular (4 aulas condensadas)
Referências principais: Notas de aula §3–4; [Sakurai] caps. 3–4; [Ballentine] caps. 3 e 7; [CT] vol. 1, caps. VI–VII e complementos.
| # | Data | Dia | Tópico |
|---|---|---|---|
| 18 | 27/05 | Qua | Simetrias e transformações espaciais. Transformações unitárias e anti-unitárias (teorema de Wigner). Translações e rotações; geradores; álgebra do momento angular. |
| 19 | 01/06 | Seg | Spin e representações do momento angular. Operadores de levantamento e abaixamento; quantização de j e m. Representações irredutíveis de SU(2); spin-1/2 e matrizes de Pauli. |
| 20 | 03/06 | Qua | Momento angular orbital. Harmônicos esféricos; equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. Relação entre SO(3), SU(2) e representações orbitais. |
| 21 | 08/06 | Seg | Adição de momentos angulares e simetrias discretas. Coeficientes de Clebsch-Gordan; acoplamento spin-órbita; teorema de Wigner-Eckart (enunciado). Paridade e reversão temporal. |
Nota: A Lista 4 deve ser distribuída por volta da aula 20. Esta versão preserva o núcleo de teoria de representações e simetrias, deixando aplicações mais longas para a lista e para a revisão.
| # | Data | Dia | Atividade |
|---|---|---|---|
| A4.1 | 10/06 | Qua | Avaliação 4 — Lista 4 (Módulo IV), dia 1 |
| A4.2 | 15/06 | Seg | Avaliação 4 — Lista 4 (Módulo IV), dia 2 |
Módulos V e VI — Métodos de Aproximação e Teoria do Espalhamento (6 aulas condensadas)
Referências principais: [Sakurai] caps. 5–7; [CT] vol. 2, caps. VIII e XI–XIII; [Ballentine] caps. 11–13.
| # | Data | Dia | Tópico |
|---|---|---|---|
| 22 | 17/06 | Qua | Teoria de perturbação independente do tempo. Casos não-degenerado e degenerado; correções perturbativas de energias e estados; estrutura fina como exemplo organizador. |
| 23 | 22/06 | Seg | Efeito Zeeman e método variacional. Zeeman normal e anômalo. Princípio variacional de Rayleigh-Ritz; aplicação ao hélio. Conexão com QI: estimativa variacional de autovalores como problema de otimização. |
| 24 | 24/06 | Qua | Teoria de perturbação dependente do tempo e regra de ouro de Fermi. Representação de interação; série de Dyson; transições entre dois níveis; transições para contínuo. |
| 25 | 29/06 | Seg | Formulação geral do espalhamento. Equação de Lippmann-Schwinger; estados de espalhamento; seção de choque diferencial. Aproximação de Born como primeira ferramenta de cálculo. |
| 26 | 01/07 | Qua | Aproximação de Born e ondas parciais. Primeira aproximação de Born; exemplos de Yukawa e Coulomb; decomposição em ondas parciais; deslocamentos de fase. |
| 27 | 06/07 | Seg | Teorema óptico e síntese. Seção de choque total; teorema óptico; visão geral da matriz S e da unitariedade como princípio de conservação de informação. |
Nota: A Lista 5 deve ser distribuída por volta da aula 24. O bloco final de avaliação usa a quarta-feira 08/07 e a sexta-feira 10/07, último dia letivo permitido.
| # | Data | Dia | Atividade |
|---|---|---|---|
| A5.1 | 08/07 | Qua | Avaliação 5 — Lista 5 (Módulos V e VI), dia 1 |
| A5.2 | 10/07 | Sex | Avaliação 5 — Lista 5 (Módulos V e VI), dia 2 |
Resumo do calendário
| Semana | Segunda | Quarta |
|---|---|---|
| 1 (09–13/03) | Aula 1 — Axiomas 1–2 | Aula 2 — Axiomas 3–5 |
| 2 (16–20/03) | Aula 3 — C*-álgebras, GNS | Aula 4 — Dim. finita, CSCO |
| 3 (23–27/03) | Aula 5 — Incerteza, dim. infinita | Aula 6 — Osc. harmônico |
| 4 (30/03–03/04) | Aula 7 — Estados coerentes | Aula 8 — Estados comprimidos |
| 5 (06–10/04) | Avaliação 1, dia 1 | Avaliação 1, dia 2 |
| 6 (13–17/04) | Aula 9 — Evolução temporal | Aula 10 — Schrödinger/Heisenberg |
| 7 (20–24/04) | Aula 11 — Coerentes: dinâmica | Aula 12 — Propagador, calibre, A-B |
| 8 (27/04–01/05) | Avaliação 2, dia 1 | Avaliação 2, dia 2 |
| 9 (04–08/05) | Aula 13 — ρ̂, traço parcial | Aula 14 — Qubits, Bloch |
| 10 (11–15/05) | Aula 15 — Bell, CHSH | Aula 16 — Entropia de vN |
| 11 (18–22/05) | Aula 17 — Canais, teletransporte | Avaliação 3, dia 1 |
| 12 (25–29/05) | Avaliação 3, dia 2 | Aula 18 — Simetrias |
| 13 (01–05/06) | Aula 19 — Spin e momento angular | Aula 20 — Mom. ang. orbital |
| 14 (08–12/06) | Aula 21 — Adição e simetrias discretas | Avaliação 4, dia 1 |
| 15 (15–19/06) | Avaliação 4, dia 2 | Aula 22 — Perturbação |
| 16 (22–26/06) | Aula 23 — Zeeman, variacional | Aula 24 — Perturbação dep. tempo |
| 17 (29/06–03/07) | Aula 25 — Formulação do espalhamento | Aula 26 — Born e ondas parciais |
| 18 (06–10/07) | Aula 27 — Teorema óptico, síntese | Avaliação 5, dia 1 |
Limite final de aulas: sexta-feira 10/07 fica reservada para a Avaliação 5, dia 2. As notas devem estar prontas até 24/07.
Distribuição das listas de exercícios
| Lista | Distribuição sugerida | Avaliação | Tópicos cobertos |
|---|---|---|---|
| 1 | Aula 5 (23/03) | 06/04 e 08/04 | Espaço de Hilbert; notação de Dirac; representação espectral; representações matriciais; relações de incerteza; oscilador harmônico; estados coerentes e comprimidos. |
| 2 | Aula 10 (15/04) | 27/04 e 29/04 | Evolução temporal; quadros de Schrödinger e Heisenberg; oscilações entre dois níveis; dinâmica do oscilador; propagador; efeito Aharonov-Bohm. |
| 3 | Aula 15 (11/05) | 20/05 e 25/05 | Operador densidade; traço parcial; qubits e esfera de Bloch; entrelaçamento; desigualdade de Bell; entropia de von Neumann; canais quânticos; teletransporte. |
| 4 | Aula 20 (03/06) | 10/06 e 15/06 | Translações e rotações; representações do momento angular; harmônicos esféricos; adição de momentos angulares; Clebsch-Gordan; paridade; reversão temporal. |
| 5 | Aula 24 (24/06) | 08/07 e 10/07 | Perturbação independente e dependente do tempo; estrutura fina; efeito Zeeman; método variacional; regra de ouro de Fermi; espalhamento; Lippmann-Schwinger; Born; ondas parciais. |
Conexões com informação quântica ao longo do curso
Um dos diferenciais deste curso é a integração sistemática de conceitos de informação quântica. A tabela abaixo resume as conexões planejadas em cada módulo:
| Módulo | Conexão com QI |
|---|---|
| I — Formalismo | Qubits como sistemas de dimensão 2; estados como recurso; base computacional {|0⟩, |1⟩} e sua identificação com spin-1/2. |
| II — Dinâmica | Portas quânticas como operadores unitários; evolução controlada; fase geométrica e computação holonômica (menção). |
| III — Sist. abertos e QI | Módulo central de QI: estados de Bell, CHSH, teletransporte, codificação superdensa, canais quânticos, não-clonagem. |
| IV — Simetrias | Simetrias como portas quânticas (Pauli, Hadamard, CNOT via spin); entrelaçamento e representações; teorema de Wigner e operações permitidas. |
| V — Aproximação | Simulação quântica hamiltoniana; problema variacional como otimização quântica (VQE — menção); perturbação como modelo de erros. |
| VI — Espalhamento | Matriz S e unitariedade como conservação de informação; teoria quântica de canais e espalhamento. |